SISTEMAS RELACIONAIS E CONJUNTOS INDEPENDENTES DE VÉRTICES EM GRAFOS INFINITOS PERIÓDICOS

Allan Andrey Ferreira Rimes; Montauban Moreira de Oliveira Junior

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Trabalho

Título do Trabalho

SISTEMAS RELACIONAIS E CONJUNTOS INDEPENDENTES DE VÉRTICES EM GRAFOS INFINITOS PERIÓDICOS

Autores

Allan Andrey Ferreira Rimes
Montauban Moreira de Oliveira Junior

Modalidade

Resumo

Área temática

Ciências Exatas e da Terra - Matemática

Data de Publicação

22/04/2025

País da Publicação

Brasil

Idioma da Publicação

Português

Página do Trabalho

https://www.even3.com.br/anais/xi-raic-e-v-raidtec-ufrrj/935286-sistemas-relacionais-e-conjuntos-independentes-de-vertices-em-grafos-infinitos-periodicos

ISBN

978-65-272-1295-9

Palavras-Chave

Sistemas Relacionais, Razão de Independência, Redes Periódicas, Regra de Lowenstein

Resumo

Um conjunto independente de vértices de um grafo finito G é um conjunto de vértices não adjacentes de G. A razão de independência de G é definida como a cardinalidade do conjunto independente máximo (a) dividida pelo número total de vértices no grafo (n). A razão de independência de um grafo infinito periódico N é finita e é definida rigorosamente através de um limite. Isso encontra aplicação direta nas zeólitas, amplamente utilizadas na indústria petroquímica como catalisadores, as quais obedecem a Regra de Lowenstein para o alumínio. Essa regra proíbe a ponte –Al–O–Al– em aluminossilicatos e é explorada no artigo de DOI: 10.1007/s11224-016-0770-5. Porém, quanto maior a quantidade de alumínio, maior a influência no catalisador. No primeiro ano desta pesquisa, descrevemos uma metodologia para encontrar a razão de independência das redes 1-periódicas e 2-periódicas (grafos infinitos periódicos, onde vértices e arestas representam átomos e interações químicas entre eles, respectivamente) listados no site de estruturas cristalinas RCSR (https://rcsr.anu.edu.au/). Essa metodologia foi baseada no fato de que uma rede possui uma célula unitária finita que repete, e nos estudos do homomorfismo theta, que vai do quociente da rede sql ou hxl por algum subgrupo de translação T ao sistema relacional binário de configurações R(N) (grafo direcionado onde seus vértices representam os conjuntos independentes do motivo da célula unitária e são ligados, por uma aresta colorida, caso forem compatíveis na direção corresponde). Utilizando apenas as propriedades enunciadas no artigo de DOI: 10.1107/S2053273323006174, mostramos que, em qualquer homomorfismo entre sistemas relacionais, cores e direções de arcos são conservados, e ciclos direcionados e balanceados são levados em passeios fechados direcionados e balanceados, respectivamente. Atribuindo a cada subsistema isomorfo à um quociente um valor numérico denominado razão, demonstramos que a maior razão corresponde à razão de independência da rede. A técnica se mostrou eficiente em muitos casos; mas, em alguns exemplos, a determinação de alguma barreira superior foi necessária para confirmar o valor correto da razão de independência. Nesse contexto, os objetivos deste trabalho consistem em buscar desigualdades que estabeleçam um valor máximo para esse parâmetro, onde o problema é finalizado se esse valor é alcançado, e elaborar um algoritmo baseado nessa abordagem. O método segue uma estratégia de baixo para cima, onde são construídos 3-ciclos 3-coloridos direcionados ou 4-ciclos 2-coloridos balanceados contendo os vértices de peso maior num sistema relacional, que podem ser imagem homomórfica de hxl/S ou sql/S. A dificuldade é aumentada pelo fato do subgrupo S ser desconhecido. Assim, a abordagem consiste em definir aplicações injetivas que relacionam diferentes conjuntos do tipo (theta)^(-1)(x), que são conjuntos de vértices do quociente que correspondem com configurações x de R(N). A partir daí, relacionamos a cardinalidade do domínio e contradomínio dessas aplicações até encontrarmos, algebricamente, uma barreira superior para a razão de independência da rede i, descrita em termos dos conjuntos (theta)^(-1)(x). Aplicamos essa técnica em 36 redes com 1, 2, 3 e 4 vértices na célula unitária. Ela se mostrou bastante eficiente na busca pelas desigualdades que estabelecem um valor máximo para i(N). Além disso, a desigualdade encontrada nos permite reduzir drasticamente a quantidade de subsistemas a serem analisados, fazendo com que o problema fosse finalizado rapidamente em muitos casos. Futuramente, a pesquisa poderá se concentrar na elaboração de um código capaz de analisar os subsistemas quando houver muitos vértices. Os últimos resultados possibilitaram um estudo profundo com sistemas relacionais que indica que a Regra de Lowenstein pode estar errada. Na verdade, sugerem que o silício é que não pode ser vizinho de outro silício. Um artigo detalhando e questionando a regra foi aceito para publicação em 2024 de DOI: 10.1107/S2053273323008665.

Título do Evento: XI Reunião Anual de Iniciação Científica da UFRRJ (RAIC 2024) & V Reunião Anual de Iniciação em Desenvolvimento Tecnológico e Inovação (RAIDTec 2024)
Cidade do Evento: Seropédica
Título dos Anais do Evento: Anais da XI Reunião Anual de Iniciação Científica da UFRRJ (RAIC) e V Reunião Anual de Iniciação em Desenvolvimento Tecnológico e Inovação (RAIDTec): Transição energética: impactos ambientais e sociais
Nome da Editora: Even3
Meio de Divulgação: Meio Digital

Como citar

RIMES, Allan Andrey Ferreira; JUNIOR, Montauban Moreira de Oliveira. SISTEMAS RELACIONAIS E CONJUNTOS INDEPENDENTES DE VÉRTICES EM GRAFOS INFINITOS PERIÓDICOS.. In: Anais da XI Reunião Anual de Iniciação Científica da UFRRJ (RAIC) e V Reunião Anual de Iniciação em Desenvolvimento Tecnológico e Inovação (RAIDTec): Transição energética: impactos ambientais e sociais. Anais...Seropédica(RJ) UFRRJ, 2024. Disponível em: https//www.even3.com.br/anais/xi-raic-e-v-raidtec-ufrrj/935286-SISTEMAS-RELACIONAIS-E-CONJUNTOS-INDEPENDENTES-DE-VERTICES-EM-GRAFOS-INFINITOS-PERIODICOS. Acesso em: 02/07/2025