FRACTAIS: UMA ABORDAGEM COMPUTACIONAL

Renan Rabelo Goularti

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Trabalho

Título do Trabalho

FRACTAIS: UMA ABORDAGEM COMPUTACIONAL

Autores

Renan Rabelo Goularti

Modalidade

Pesquisa - Resumo

Área temática

Humanidades, Ciências e Educação - Matemática

Data de Publicação

30/03/2024

País da Publicação

Brasil

Idioma da Publicação

Português

Página do Trabalho

https://www.even3.com.br/anais/sct2023/675466-fractais--uma-abordagem-computacional

ISSN

2237-8073

Palavras-Chave

Matemática; Fractal; Computação Gráfica

Resumo

Fractais são objetos geométricos que apresentam padrões recursivos e detalhes infinitamente pequenos. Por definição, um fractal é aquilo que possui a propriedade da "autossimilaridade", o que significa que as partes se assemelham ao todo; em outras palavras, o fractal é similar a si mesmo em diferentes escalas. Muitos objetos do dia a dia não exibem essa propriedade, mas pense em uma árvore e observe que do tronco saem galhos grandes e, a partir desses galhos, surgem outros menores, e assim por diante. Localmente, os galhos da árvore têm uma estrutura semelhante à árvore inteira, mesmo que seus tamanhos sejam distintos. Além de serem esteticamente interessantes, os fractais são uma área de estudo na Matemática e, portanto, possuem uma definição formal e uma rica teoria associada. Seu estudo remonta ao início do século XIX, mas com o advento da computação gráfica, tornou-se possível aplicar toda a teoria na prática e gerar figuras geométricas incríveis com propriedades fascinantes. Esta pesquisa teve como objetivo estudar as teorias que fundamentam o campo de estudo dos fractais, como os espaços métricos, as contrações e o Teorema do Ponto Fixo de Banach, além de desenvolver um código de computador para permitir a geração de imagens de fractais. Os espaços métricos formalizam a ideia de distância e tamanho, o que é essencial para compreendermos o significado de "a parte menor se parecer com a parte maior". As contrações são funções que, quando aplicadas, aproximam os pontos de um espaço, possibilitando criar transformações que reduzem um conjunto de pontos a uma versão "menor". Por fim, o Teorema do Ponto Fixo de Banach garante a existência de um conjunto fractal para funções contração específicas, sendo aplicado no espaço dos conjuntos compactos de R^2 equipado com a métrica de Hausdorff. Estes três temas formalizam e demonstram a existência de fractais, além de fornecerem um algoritmo para a aproximação computacional, exigindo apenas um conjunto de funções geradoras. A pesquisa considerou que as funções escolhidas deveriam ser funções afins, pois possuem um significado geométrico importante e geram bons fractais, além de requererem poucos parâmetros. Juntamente com o estudo da teoria, foi desenvolvido um código de computador para gerar fractais de maneira iterativa, rápida e simples, permitindo explorar os parâmetros das funções geradoras e descobrir novos fractais. A linguagem utilizada foi "Julia", uma linguagem de programação científica compilada de alto desempenho. Escolheu-se essa linguagem devido à familiaridade do autor com ela e à disponibilidade de bibliotecas que permitem a geração de imagens e vídeos por meio de código. A pesquisa não teve foco em aplicações em áreas específicas, concentrando-se apenas no estudo da teoria por trás da "arte algorítmica" que demonstra a beleza intrínseca da Matemática e como ela pode se manifestar, incluindo uma participação em uma exposição online no ano de 2020. Esta pesquisa foi resultado de um ano de bolsa PIBIC financiada pelo CNPq. O trabalho já foi apresentado em outros dois eventos: o SIC (Seminário de Iniciação Científica) na UFSC e a J3M (Jornada de Matemática Pura, Aplicada e Educação Matemática) na UFPR, ambos em 2022.

Título do Evento: XIV Semana de Ciência e Tecnologia da Unesc
Cidade do Evento: Criciúma
Título dos Anais do Evento: Anais da Semana de Ciência e Tecnologia da Universidade do Extremo Sul Catarinense
Nome da Editora: Even3
Meio de Divulgação: Meio Digital

Como citar

GOULARTI, Renan Rabelo. FRACTAIS: UMA ABORDAGEM COMPUTACIONAL.. In: . Disponível em: https//www.even3.com.br/anais/sct2023/675466-FRACTAIS--UMA-ABORDAGEM-COMPUTACIONAL. Acesso em: 07/10/2025