A Eficiência Do Método De Newton De Raphson Para Encontrar Raízes Numéricas Comparado Com O Método Da Secante: Uma Implementação No Software R

Campus

Faculdade Nordeste - DeVry | Fanor – Dunas

Título do Trabalho

A EFICIÊNCIA DO MÉTODO DE NEWTON DE RAPHSON PARA ENCONTRAR RAÍZES NUMÉRICAS COMPARADO COM O MÉTODO DA SECANTE: UMA IMPLEMENTAÇÃO NO SOFTWARE R

Autores

Raimundo Nonato Castro da Silva
Renan Inácio
Felipe de Sousa Vale
Francisco Victor Olivera de Souza
Cleilson da Costa Loredo
João Henrique Avila

Modalidade

Resumo expandido

Área temática

Engenharia de Produção

Data de Publicação

04/07/2017

País da Publicação

Brasil

Idioma da Publicação

Português

Página do Trabalho

https://www.even3.com.br/anais/mpct2017/48051-a-eficiencia-do-metodo-de-newton-de-raphson-para-encontrar-raizes-numericas-comparado-com-o-metodo-da-secante--uma

ISSN

Palavras-Chave

Newto Raphson, Secante, interação, eficiência

Resumo

Introdução De acordo com Sobral (2009) a resolução de equações é uma atividade realizada desde a antiguidade. A história da matemática registra que na Mesopotâmia já se usava técnicas algébricas e aproximações de raízes. As equações lineares e quadráticas foram resolvidas pelos Gregos através de métodos geométricos e por métodos mais aritméticos pelos Hindus e Árabes. No século XVI os Italianos resolveram, analiticamente, as equações cúbicas e quadráticas. A tentativa de obter uma fórmula para resolver a equações de grau cinco, foi encerrada no século XIX, quando Evaristo Galois demonstrou que era impossível a dedução de uma fórmula que envolvesse somente operações elementares para as equações polinomiais de grau maior ou igual a cinco. Entre a resolução das equações cúbicas e o estabelecimento da impossibilidade de resolução geral das equações de grau maior ou igual a cinco, muitos métodos de resolução de equações ou de obtenção de uma raiz aproximada foram desenvolvidos, entre eles tem-se o método da bisseção, o método da falsa posição, o método das secantes e o método Newton. Objetivo geral: Estimar as raízes de uma função através do método de Newton Raphson e da Secante, Objetivos Específicos: Implementar o método de Newton Raphson e da Secante no R, Comparar a eficiência dos métodos. Método: O teorema de Bolzano estabelece que, se tivermos uma função f, contínua num intervalo [a,b], e f(a)f(b)<0, então existe pelo menos uma raíz nesse intervalo. Como estimar uma raiz numérica: 1.Estimativa inicial: como um processo iterativo se caracteriza pela utilização do resultado da iteração anterior para o cálculo seguinte, a fim de se iniciar um processo iterativo, é preciso que se tenha uma estimativa inicial do resultado do problema. Essa estimativa pode ser conseguida de diferentes formas, conforme o problema que se deseja resolver; 2. Convergência: a fim de se obter um resultado próximo do resultado real, é preciso que a cada passo ou iteração, o resultado esteja mais próximo daquele esperado, isto é, é necessário que o método convirja para o resultado real. Essa convergência nem sempre está garantida em um processo numérico. Portanto, é muito importante se estar atento a isso e realizar a verificação da convergência do método para um determinado problema antes de tentar resolvê-lo;3.Critério de Parada: obviamente não podemos repetir um processo numérico infinitamente. É preciso pará-lo em um determinado instante. Para isso, devemos utilizar um certo critério, que vai depender do problema a ser resolvido e da precisão que precisamos obter na solução. O critério adotado para parar as iterações de um processo numérico é chamado de critério de parada. Para encontrarmos as raízes ou zeros de uma função iremos utilizar métodos numéricos iterativos. Como já mencionado, O primeiro passo para se resolver um processo iterativo corresponde a obtençao de uma estimativa inicial para o resultado do problema. Método de Newton Raphson: Dados x0, f(x), f'(x)=0, e1 e/ou e2, 1- para k:0,1,2,...,faça, 2- x[i]=x[i-1]-f(x[i-1])/f'(x[i-1]), 3- se |f(xi)| < e1 então x*=x[i], 4- ou, 5- se |x[i]-x[i-1]| < e2 entã0 x*=x. [i]. Método da Secante: Dados x0, x1, f(x), e1 E/ou e2, 1- para k:0,1,2,...,faça, 2- x[i+1]=x[i-1]f(x[i])-x[i]f(x[i-1])/(f(x[i])-f(x[i-1]), 3- se |f(x[i+1])| < e1 então x*=x[i+1], 4- ou 5- se |x[i+1]-x[i]| < e2 entã0 x*=x[i+1]. RESULTADOS: para comparar a convergência dos métodos, utilizou-se a função f(x)=cos?x- e^(?-x?^2 )+x com um erro de e=0,0000000001, ou seja, um erro muito pequeno, nota-se que a raiz encontrada foi 0.9047882, com quatro interações pelo método da secante, já por Newton Raphson com duas interações o método já convergiu. Conclusão: O método de Newton Raphson independe do chute esta longe ou perto da raiz ele consegue sempre convergir para a raiz, por outro lado o método da secante é necessário que o chute seja bem estimado, caso contraio o método não converge para a raiz numérica.

Título do Evento: Mostra de Pesquisa em Ciência e Tecnologia 2017
Cidade do Evento: Fortaleza
Título dos Anais do Evento: Anais da Mostra de Pesquisa em Ciência e Tecnologia 2017
Nome da Editora: Even3
Meio de Divulgação: Meio Digital

Como citar

SILVA, Raimundo Nonato Castro da et al.. A EFICIÊNCIA DO MÉTODO DE NEWTON DE RAPHSON PARA ENCONTRAR RAÍZES NUMÉRICAS COMPARADO COM O MÉTODO DA SECANTE: UMA IMPLEMENTAÇÃO NO SOFTWARE R.. In: Anais da Mostra de Pesquisa em Ciência e Tecnologia 2017. Anais...Fortaleza(CE) DeVry Brasil - Damásio - Ibmec, 2019. Disponível em: https//www.even3.com.br/anais/mpct2017/48051-A-EFICIENCIA-DO-METODO-DE-NEWTON-DE-RAPHSON-PARA-ENCONTRAR-RAIZES-NUMERICAS-COMPARADO-COM-O-METODO-DA-SECANTE--UMA. Acesso em: 12/06/2025