REPRESENTAÇÕES DA ÁLGEBRA DE LIE SL(2, C)

Gabriel Fernandes Lauria Pereira; Luca Scala

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Trabalho

Título do Trabalho

REPRESENTAÇÕES DA ÁLGEBRA DE LIE SL(2, C)

Autores

Gabriel Fernandes Lauria Pereira
Luca Scala

Modalidade

Resumo apresentação oral padrão

Área temática

Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza (CCMN)/Matemática

Data de Publicação

22/03/2021

País da Publicação

Brasil

Idioma da Publicação

Português

Página do Trabalho

https://www.even3.com.br/anais/jgmictac/316414-representacoes-da-algebra-de-lie-sl(2-c)

ISBN

978-65-5941-128-3

Palavras-Chave

Teoria da representação, Álgebra de Lie, Álgebra linear

Resumo

A fim de iniciar os estudos em representações de álgebras de Lie semissimples, em particular sobre a álgebra de Lie linear especial sobre o corpo dos complexos sl(n, C), toma-se como passo inicial estudar as representações de sl(2, C). Assim, o objetivo do trabalho é caracterizar as representações irredutíveis de sl(2, C) e desenvolver um algoritmo de pletismo, isso é, que forneça a decomposição de representações arbitrárias em somas diretas de representações irredutíveis. Para isso, consideramos uma base particular {H, X, Y} de sl(2, C) de forma que a ação de H seja diagonalizável e que H seja o comutador de X e Y. Assim, decompomos uma representação irredutível arbitrária como soma de auto-espaços de H e avaliamos como X e Y agem em elementos dos auto-espaços (FULTON; HARRIS, 1991, p.147). A partir de tais cálculos obtemos que as representações irredutíveis de sl(2, C) são sempre isomorfas a Sym(n, V), as potências n-ésimas simétricas da representação padrão V. Além disso, mostramos que os autovalores da ação de H em uma representação irredutível tem multiplicidade 1 e são todos inteiros congruentes módulo 2 e simétricos em torno da origem. Por fim, através da constatação anterior, o algoritmo de pletismo consiste em tomar o maior autovalor da ação de H na representação arbitrária, e então checar qual das representações irredutíveis Sym(n, V) tem o mesmo autovalor máximo, pois esta deverá aparecer na decomposição. A multiplicidade do autovalor máximo corresponde ao número de cópias de Sym(n, V) na decomposição, e após subtrair esse valor da multiplicidade de todos os autovalores associados, o processo é repetido com o autovalor máximo do complemento da representação arbitrária, até que esta seja irredutível. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FULTON, William; HARRIS, Joe. Representation Theory: a first course. New York: Springer-Verlag, 1991.

Título do Evento: XLII Jornada Giulio Massarani de Iniciação Científica, Tecnológica, Artística e Cultural (JICTAC 2020 - Edição Especial) - Evento UFRJ
Título dos Anais do Evento: Anais da Jornada Giulio Massarani de Iniciação Científica, Tecnológica, Artística e Cultural
Nome da Editora: Even3
Meio de Divulgação: Meio Digital

Como citar

PEREIRA, Gabriel Fernandes Lauria; SCALA , Luca Scala . REPRESENTAÇÕES DA ÁLGEBRA DE LIE SL(2, C).. In: Anais da Jornada Giulio Massarani de Iniciação Científica, Tecnológica, Artística e Cultural. Anais...Rio de Janeiro(RJ) UFRJ, 2021. Disponível em: https//www.even3.com.br/anais/jgmictac/316414-REPRESENTACOES-DA-ALGEBRA-DE-LIE-SL(2-C). Acesso em: 09/06/2025