O TEOREMA DE EULER PARA POLINÔMIOS

Rachel Granville Garcia Leal

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Trabalho

Título do Trabalho

O TEOREMA DE EULER PARA POLINÔMIOS

Autores

Rachel Granville Garcia Leal

Modalidade

Resumo apresentação oral curta

Área temática

Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza (CCMN)/Matemática

Data de Publicação

22/03/2021

País da Publicação

Brasil

Idioma da Publicação

Português

Página do Trabalho

https://www.even3.com.br/anais/jgmictac/314561-o-teorema-de-euler-para-polinomios

ISBN

978-65-5941-128-3

Palavras-Chave

Teoria de Grupos, Teorema de Euler, Polinômios

Resumo

A semelhança entre os algoritmos de divisão nos números inteiros e nos polinômios é surpreendente. Por exemplo, pelo algoritmo de Euclides, dados inteiros a, b e m, temos que a é invertível módulo m se, e somente se, a e m são primos entre si . Veremos que, com uma generalização adequada da noção de equivalência módulo um polinômio, essa propriedade ainda é válida no anel de polinômios sobre os inteiros. Além disso, ambos os algoritmos de divisão, tanto no anel de inteiros como de polinômios faz uso de uma função Euclidiana: o valor absoluto nos inteiros e o grau de um polinômio no anel de polinômios. Função essa que podemos definir em: seja R um domínio integral, uma função euclidiana em R é uma função g de R ?\ {0 } para os inteiros não negativos que satisfazem a seguinte propriedade fundamental de divisão com resto: Se a e b pertencem à R e b é diferente de zero, então existe q e r em R tal que a = bq + r e ou r = 0 ou g?( r ) < g ?( b ) . Essa similaridade sugere um análogo polinomial ao teorema de Euler na aritmética modular: Teorema de Euler: Se a e m são inteiros e (a, m) = 1 e f(m) = | { k tal que Z : 0 < k < |m|, (k, m) = 1} | então a^f(m) = 1 (mod m). E esse análogo realmente existe desde que se generalize a função f de Euler de modo conveniente. Iremos apresentar este teorema análogo e discutir conceitos relacionados: a ordem de um polinômio f módulo um polinômio relativamente primo m e o expoente exp(m) do polinômio m. Concluímos, enfim, com aplicações destas ideias na fatoração de polinômios sobre corpos finitos. Referências Bibliográficas: WARDLAW, W. Euler's Theorem for Polynomials. NRL Memorandum Report 6605, 1990 GARCIA, A. LEQUAIN, Y. Elementos de Álgebra 6ª edição. IMPA, 2018 GONÇALVES, A. Introdução à álgebra, 6ª edição IMPA, 2017

Título do Evento: XLII Jornada Giulio Massarani de Iniciação Científica, Tecnológica, Artística e Cultural (JICTAC 2020 - Edição Especial) - Evento UFRJ
Título dos Anais do Evento: Anais da Jornada Giulio Massarani de Iniciação Científica, Tecnológica, Artística e Cultural
Nome da Editora: Even3
Meio de Divulgação: Meio Digital

Como citar

LEAL, Rachel Granville Garcia. O TEOREMA DE EULER PARA POLINÔMIOS.. In: Anais da Jornada Giulio Massarani de Iniciação Científica, Tecnológica, Artística e Cultural. Anais...Rio de Janeiro(RJ) UFRJ, 2021. Disponível em: https//www.even3.com.br/anais/jgmictac/314561-O-TEOREMA-DE-EULER-PARA-POLINOMIOS. Acesso em: 19/06/2025