Oficina de Topologia Aplicada à Análise de Dados

A Topologia é a área da Matemática que estuda os espaços topológicos e as aplicações entre eles. Espaços topológicos são conjuntos que possuem uma estrutura, chamada de topologia, que pode ser descrita por uma parte de seus subconjuntos, os quais satisfazem certos axiomas. Um dos aspectos mais importantes da Topologia é que, diferente da Geometria Euclidiana, que classifica objetos por sua forma, seja pelo comprimento, altura, ângulo, diâmetro ou algum outro fator, a Topologia trata do estudo das propriedades de um objeto mantidas após uma deformação contínua.

Uma das maneiras de maior sucesso no estudo da classificação dos espaços topológicos é a de associar espaços e aplicações a estruturas algébricas (como grupos, anéis, corpos, espaços vetoriais, módulos, etc.) e aplicações entre elas (homomorfismos, transformações lineares, etc.), respectivamente. O primeiro relato dessa transição entre topologia e álgebra se deu em 1895, quando Henri Poincaré criou uma ferramenta que, intuitivamente, conta o número de buracos unidimensionais de um determinado espaço. Essa ferramenta, chamada de Grupo Fundamental (π₁) ou Grupo de Poincaré, associa um espaço topológico X a uma estrutura algébrica conhecida como grupo π₁(X) que é um invariante topológico. Nascia então a Topologia Algébrica.

Outra ferramenta da topologia algébrica é a homologia, que considera um espaço topológico e associa um anel de grupos. Portanto, é necessário conhecimento de estudos de anéis de grupos, da álgebra, e de topologia, do espaço para compreender essa associação em cada espaço topológico, isto é, saber interpretar, em cada caso, o que uma ferramenta da álgebra implica, através da associação, na topologia do espaço e vice-versa. Assim, quando se estuda espaços topológicos por meio de ferramentas da topologia algébrica, como a homologia, tem-se a possibilidade de obter informações, para o problema em questão, através da álgebra e da topologia.

A homologia de persistência é uma ferramenta da categoria de homologia que, considerando um espaço topológico que tem subespaços encaixados, isto é, uma sequência onde o antecessor é subespaço do posterior e que o último é o espaço inicial, permite obter informação do espaço topológico através do comportamento de seus subespaços.

Na década de 80, pesquisadores determinaram uma maneira de implementar computacionalmente a ferramenta de homologia de persistência. Com isso, foram impulsionadas pesquisas desenvolvendo técnicas para interpretar homologia de persistência, por exemplo, barcodes, diagramas de persistência, entre outros. Com o crescimento da Ciência de Dados, uma subárea da Topologia Aplicada vem ganhando destaque: a Topologia Aplicada à Análise de Dados (TDA).

Dados computacionais são obtidos das mais diversas fontes (imagens, tabelas, matrizes, vetores) e representados geralmente em gráficos e nuvem de pontos. O papel principal da TDA é utilizar a topologia e geometria para inferir informações relevantes sobre a estrutura desses dados. A ferramenta TDA procura construir uma representação geométrica contínua ou aproximações contínuas desses dados de estrutura discreta e, através de algoritmos computacionais, analisá-las em busca de propriedades topológicas e geométricas que refletem informações dos dados.

Os desafios da TDA são muitos: obter as realizações geométricas a partir dos dados, analisar essas realizações, garantir que as propriedades topológicas obtidas das aproximações são confiáveis e relevantes (e não ruídos), etc.

Para apresentar e divulgar a área de pesquisa em TDA, será realizada uma oficina com um momento de apresentação expositiva de uma introdução sobre a topologia e a topologia algébrica, com contextos históricos e desenvolvimentos da teoria; um momento com apresentações de trabalhos recentes em pesquisas na área de TDA, que envolvem aplicações em outras áreas; e outro momento de apresentações com atividades práticas com aplicações de TDA desenvolvidas presencialmente.