EXTENSÃO DO CONCEITO DE CORPO ORDENADO COMPLETO EM R PARA ESPAÇOS NORMADOS GERAIS

Moisés Victor Costa Ribeiro Ferreira

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Trabalho

Título do Trabalho

EXTENSÃO DO CONCEITO DE CORPO ORDENADO COMPLETO EM R PARA ESPAÇOS NORMADOS GERAIS

Autores

Moisés Victor Costa Ribeiro Ferreira

Modalidade

Resumo

Área temática

Ciências Exatas e da Terra - Matemática

Data de Publicação

27/03/2026

País da Publicação

Brasil

Idioma da Publicação

pt-BR

Página do Trabalho

https://www.even3.com.br/anais/xii-reuniao-anual-iniciacao-cientifica-da-ufrrj-raic/1316967-extensao-do-conceito-de-corpo-ordenado-completo-em-r-para-espacos-normados-gerais

ISBN

978-65-272-2302-3

Palavras-Chave

Espaços métricos, Sequências de Cauchy, Critérios de completude

Resumo

Este trabalho tem como objetivo apresentar um estudo sobre espaços métricos e suas propriedades, com foco em mostrar critérios para identificar quando um espaço é completo. A motivação do trabalho é se aprofundar em tópicos vistos na disciplina de Análise, enquanto abordamos os espaços mais gerais. Por exemplo, ao estudar as sequências de Cauchy, vemos que toda sequência convergente é de Cauchy, no entanto não é possível afirmar o contrário. Ao tomar a sequência de Cauchy (1/n) com n natural, vemos que essa sequência está contida no espaço (0,5] porém a sequência está convergindo para 0 e portanto (1/n) diverge no espaço (0,5]. Um espaço métrico é completo se toda sequência de Cauchy é convergente. Embora esse critério das sequências de Cauchy seja o principal para determinar a completude do espaço métrico, ele não é o único. Dito isso, mostramos que os seguintes critérios são equivalente e também podem ser usados para determinar quando um espaço X é completo: Toda sequência de Cauchy em X converge em X; X não possui pontos virtuais; X é fechado universalmente; (Se X é um espaço vetorial normado) Toda série absolutamente convergente é convergente. Para mostrar que a reta real munida da métrica usual satisfaz esses critérios e, portanto, é um espaço métrico completo, usamos uma propriedade que é suficiente. Seja (X , d) um espaço métrico e seja (Y , e) um espaço métrico no qual (X , d ) seja subespaço de (Y , e). Ao calcular a distância de um elemento y de Y até o conjunto X, temos que e(y , X) = inf {e(y , x) | x pertence a X }. Não necessariamente existe x em X tal que e(y , X) = e(y , x). No caso de X ser um conjunto onde para todo y em Y existir x em X tal que e e(y , X) = e(y , x), dizemos que X tem a propriedade do ponto mais próximo. Supondo que X tenha a propriedade do ponto mais próximo, torna-se simples observar que X é universalmente fechado. Tome (Y, e) de forma que (X, d) seja um subespaço métrico de (Y, e) e tome y em Y , onde y está no fecho de X. Por y estar no fecho de X, temos que e(y , X) = 0. Como X tem a propriedade do ponto mais próximo, existe x em X tal que 0 = e(y , X) = e(y , x). Donde y = x e, portanto, y está em X. Dessa forma, podemos reduzir a demonstração de que a reta real satisfaz os critérios ao fato de ela possuir a propriedade do ponto mais próximo. Com efeito, a reta real é um espaço completo, e toda sequência de Cauchy nela contida converge para algum ponto da própria reta. 1. LIMA, E. L. Curso de análise. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1981. v. 2. 2. LIMA, E. L. Espaços métricos.Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq Rio de Janeiro, 1983. 3. O’SEARCOID, M. Metric spaces.Springer Science & Business Media, 2006.

Título do Evento: XII Reunião Anual de Iniciação Científica da UFRRJ (RAIC 2025) & VI Reunião Anual de Iniciação em Desenvolvimento Tecnológico e Inovação (RAIDTec 2025)
Cidade do Evento: Seropédica
Título dos Anais do Evento: Anais da Reunião Anual de Iniciação Científica e Reunião Anual de Iniciação em Desenvolvimento Tecnológico e Inovação da UFRRJ - Justiça climática: por um mundo mais sustentável, justo e igualitário
Nome da Editora: Even3
Meio de Divulgação: Meio Digital

Como citar

FERREIRA, Moisés Victor Costa Ribeiro. EXTENSÃO DO CONCEITO DE CORPO ORDENADO COMPLETO EM R PARA ESPAÇOS NORMADOS GERAIS.. In: Anais da Reunião Anual de Iniciação Científica e Reunião Anual de Iniciação em Desenvolvimento Tecnológico e Inovação da UFRRJ - Justiça climática: por um mundo mais sustentável, justo e igualitário. Anais...Seropédica(RJ) UFRRJ, 2025. Disponível em: https//www.even3.com.br/anais/xii-reuniao-anual-iniciacao-cientifica-da-ufrrj-raic/1316967-EXTENSAO-DO-CONCEITO-DE-CORPO-ORDENADO-COMPLETO-EM-R-PARA-ESPACOS-NORMADOS-GERAIS. Acesso em: 28/05/2026