ORIGENS DO CÁLCULO VARIACIONAL E APLICAÇÃO NO PROBLEMA DA BRAQUISTÓCRONA

Bruna Müller da Silva; Jucimar Peruzzo; Gilmar de Oliveira Veloso

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Trabalho

Título do Trabalho

ORIGENS DO CÁLCULO VARIACIONAL E APLICAÇÃO NO PROBLEMA DA BRAQUISTÓCRONA

Autores

Bruna Müller da Silva
Jucimar Peruzzo
Gilmar de Oliveira Veloso

Modalidade

Graduação, Pós-graduação e Qualificação Profissional - Não Bolsista

Área temática

Ciências Exatas e da Terra

Data de Publicação

03/10/2019

País da Publicação

Brasil

Idioma da Publicação

Português

Página do Trabalho

https://www.even3.com.br/anais/sepeifcconcordia2019/173935-origens-do-calculo-variacional-e-aplicacao-no-problema-da-braquistocrona

ISSN

2317-8671

Palavras-Chave

Cálculo variacional, braquistócrona, caminho de menor tempo.

Resumo

Proposto em 1696 pelo matemático Jean Bernoulli, o problema da braquistócrona buscava determinar a forma da trajetória que uma partícula segue do ponto A ao ponto B, movimentando-se sem atrito, num campo de força gravitacional constante, no menor tempo possível. A partir de uma revisão bibliográfica, este trabalho tem como objetivo apresentar o problema da braquistócrona e explorar sua resolução utilizando-se do cálculo variacional. Diversas soluções foram apresentadas por físicos e matemáticos como Isaac Newton, Gotfried W. Leibniz, Jackob Bernoulli e o marquês de L’Hopital. Uma das soluções mais populares para o caso da braquistócrona, palavra do latim que significa menor tempo, envolve o cálculo variacional. Na busca das origens do cálculo variacional somos remetidos aos antigos gregos, que já conheciam as propriedades isoperimétricas do círculo e da esfera. Entre todas as curvas planas fechadas de mesmo comprimento, o círculo encerra a maior área e entre todas as superfícies fechadas de mesma área, a esfera encerra o maior volume. O problema de máximo e mínimo mais antigo de que se tenha notícia é de Dido, filha de um rei fenício, para a qual foi prometida a extensão de terra que ela pudesse cercar com o couro de um boi. Diz a lenda, que ela preparou com o couro uma longa e fina tira e cercou um terreno semicircular beirando o mar Mediterrâneo. O problema central do cálculo variacional consiste em encontrar uma função y(x) que possui valores fixos em dois pontos, tal que a integral de um funcional f(y(x),y’(x),x), seja um extremo (máximo, mínimo ou inflexão). Isso ocorre se a função f satisfaz a equação de Euler-Lagrange, onde f deve ser diferenciada em função de y(x) e y’(x). No caso do problema da braquistócrona, supondo que a partícula parta do ponto A em direção ao ponto B, utilizando a conservação da energia mecânica, determinamos o funcional e, a partir da equação de Euler-Lagrange, obtemos as equações paramétricas que escrevem o caminho seguido, a qual é uma cicloide invertida.

Título do Evento: Semana de Ensino, Pesquisa e Extensão 2019
Cidade do Evento: Concórdia
Título dos Anais do Evento: Anais da Semana de Ensino, Pesquisa e Extensão do IFC Campus Concórdia
Nome da Editora: Even3
Meio de Divulgação: Meio Digital

Como citar

SILVA, Bruna Müller da; PERUZZO, Jucimar; VELOSO, Gilmar de Oliveira. ORIGENS DO CÁLCULO VARIACIONAL E APLICAÇÃO NO PROBLEMA DA BRAQUISTÓCRONA.. In: Anais da Semana de Ensino, Pesquisa e Extensão do IFC Campus Concórdia. Anais...Concórdia(SC) IFC Campus Concórdia, 2019. Disponível em: https//www.even3.com.br/anais/sepeifcconcordia2019/173935-ORIGENS-DO-CALCULO-VARIACIONAL-E-APLICACAO-NO-PROBLEMA-DA-BRAQUISTOCRONA. Acesso em: 01/07/2025